Estrela de nêutrons
girandoSpinning
neutron star

Um ponto quente na superfície de uma estrela de nêutrons, visto de longe. A luz que sai dele não viaja em linha reta: cada fóton segue uma geodésica nula de Schwarzschild, e o ângulo total que ele varre entre a superfície e o infinito é

ψ(b) = ∫₀^1/R du / √( 1/b² − u² + 2M u³ )

com b = R sen α / √(1 − 2M/R) o parâmetro de impacto e α o ângulo de emissão em relação à vertical local. A integral é feita numericamente, com a substituição que remove a singularidade de raiz no extremo. Não é a aproximação de Beloborodov — que é excelente até u ≈ 0,35 mas erra por 0,26 em cos α no regime compacto, que é justamente onde a coisa fica interessante.

Você vê mais do que metade da estrela. Em espaço plano, o horizonte visível está a 90° do ponto sub-observador. Aqui a luz encurva e traz notícia do lado oculto: com R = 12 km e M = 1,4 M☉ a visada alcança ψ ≈ 120°, ou seja, 30° para dentro do lado de trás. Arraste a latitude e veja o spot desaparecer depois de passar pela borda, não antes.

A imagem dupla. Se a estrela for compacta o bastante para que ψ_máx passe de 180°, um segundo caminho fecha: o fóton dá a volta pelo outro lado e chega ao observador pela borda oposta. Aí o mesmo spot aparece duas vezes ao mesmo tempo, em lados opostos do disco. Isso pede R < 3,5M — aperte estrela compacta para chegar lá.

O brilho de cada imagem é F ∝ cos α · |d cos α / d cos ψ|, que no limite plano vira o cos ψ de Lambert. A segunda imagem é sempre bem mais fraca que a primeira, e mora colada na borda: é um anel fino, não um segundo disco.

A hot spot on the surface of a neutron star, seen from far away. The light leaving it does not travel in a straight line: each photon follows a Schwarzschild null geodesic, and the total angle it sweeps between the surface and infinity is

ψ(b) = ∫₀^1/R du / √( 1/b² − u² + 2M u³ )

with b = R sin α / √(1 − 2M/R) the impact parameter and α the emission angle from the local vertical. The integral is done numerically, with the substitution that removes the square-root singularity at the endpoint. This is not Beloborodov's approximation — excellent up to u ≈ 0.35, but off by 0.26 in cos α in the compact regime, which is exactly where it gets interesting.

You see more than half the star. In flat space the visible horizon sits 90° from the sub-observer point. Here light bends and brings news from the hidden side: at R = 12 km and M = 1.4 M☉ the view reaches ψ ≈ 120°, that is, 30° round the back. Drag the latitude and watch the spot vanish after it crosses the limb, not before.

The double image. If the star is compact enough that ψ_max passes 180°, a second path closes: the photon goes round the other way and reaches the observer at the opposite limb. The same spot then appears twice at once, on opposite sides of the disc. This needs R < 3.5M — press compact star to get there.

The brightness of each image is F ∝ cos α · |d cos α / d cos ψ|, which in the flat limit becomes Lambert's cos ψ. The second image is always far fainter than the first and lives glued to the limb: a thin ring, not a second disc.