II Escola Brasileira de Neutrinos

Sexta · 02 · 10 · 2026

ν_e ν_μ ν_τ

Seminário

Neutrinos em
espaço-tempo curvo

O que acontece com a oscilação de sabor quando a viagem segue uma geodésica — e não uma reta.

Roteiro

Três partes, uma pergunta

I

Espaço-tempo curvo

Einstein, Schwarzschild, objetos compactos: onde só a Relatividade Geral descreve bem, e o que a métrica faz com um neutrino.

II

A supernova, e os neutrinos no poço

Como a estrela colapsa, de onde vem a onda de choque, e o que acontece com o sabor quando a emissão é dentro de um poço gravitacional fundo.

III

GHOST: resultados

A frente de choque na ressonância MSW: o critério, o custo em P_H, o viés no DUNE e onde procurar.

Premissa · Wolfenstein 1978 · Mikheyev & Smirnov 1985

MSW: um problema de dois níveis

H = ½ (V − Δ cos 2θΔ sin 2θΔ sin 2θ−(V − Δ cos 2θ))hamiltoniano efetivo, dois sabores

Δ = Δm²2E

V(r) = √2 G_F n_e(r)

A ressonância acontece quando o termo diagonal se anula:

V = Δ cos 2θ

H_res ~ ½ (0Δ sin 2θΔ sin 2θ0)só fora da diagonal: autoestados 50/50 — mistura máxima

Um cruzamento evitado com evolução adiabática — e a ponte para supernovas, onde o perfil n_e(r) varre a ressonância.

Adiabaticidade · 1

Na base que acompanha a matéria

Passe da base de sabor para a base instantânea de matéria:

(ν_eν_x) = U(θ_m(x)) (ν₁^mν₂^m)

Como U depende de x, a equação de Schrödinger ganha um termo:

i ddx (ν₁^mν₂^m) = [ (−Δ_m/200+Δ_m/2) − i U^†dUdx ] (ν₁^mν₂^m)

−i U^†dUdx ~ (0i dθ_m/dx−i dθ_m/dx0)

Ponte com o slide anterior: U(θ_m) diagonaliza o H de lá:

Δ_m cos 2θ_m = Δ cos 2θ − V · Δ_m sin 2θ_m = Δ sin 2θ

O slide anterior dá o hamiltoniano num ponto; diagonalizá-lo define θ_m e Δ_m; aqui perguntamos o que acontece quando θ_m muda ao longo do caminho.

O gradiente da densidade reaparece como um termo fora da diagonal na base dos autoestados instantâneos.

Uma competição direta:

Δ_m contra |dθ_m/dx|

Condição adiabática:

|dθ_m/dx| ≪ Δ_m

Mais fundamental que “a densidade varia devagar”: o que importa é o ritmo da rotação da base comparado ao gap.

Adiabaticidade · 2

Por que a ressonância é o lugar crítico

Na ressonância, V = Δ cos 2θ e θ_m = π/4. A separação entre os níveis é mínima:

Δ_m^res = Δ sin 2θ

Um cruzamento evitado. Longe dela os níveis estão bem separados; perto, ficam o mais próximos possível — e é ali que a base gira mais rápido (área rosa).

É onde fica mais fácil a transição ν₁ᵐ ↔ ν₂ᵐ. Por isso a adiabaticidade se avalia na ressonância.

Adiabaticidade · 3

O parâmetro de adiabaticidade γ e Landau–Zener

γ_res = Δm²2E sin² 2θcos 2θ |d ln n_edx|⁻¹_resparâmetro de adiabaticidade = gap ÷ giro da base, na ressonância

P_jump ≃ e^{−πγ_res/2}probabilidade de pular de ramo (Landau–Zener, perfil quase linear)

se…	γ	P_jump	por quê
energia E maior	↓	↑	Δ = Δm²/2E cai: gap menor
Δm² maior	↑	↓	gap maior
mistura θ maior (até 45°)	↑	↓	gap mínimo Δ sin 2θ maior
densidade varia devagar	↑	↓	escala \|d ln n_e/dx\|⁻¹ grande: a base gira devagar
frente de choque (degrau)	→ 0	máx.	escala → 0: salto súbito

γ ≫ 1 → adiabático: segue o ramo · γ ≲ 1 → pula de ramo

A ressonância determina onde os autoestados se misturam maximamente; a adiabaticidade determina se o neutrino acompanha esses autoestados enquanto eles mudam.

Fazendo a álgebra na ressonância sai o parâmetro γ, a razão entre o gap e o ritmo de rotação da base. Landau–Zener dá a probabilidade de pular de ramo, e^{−πγ/2}. Três números calculados: no Sol, para ⁸B a 10 MeV, γ ≈ 3000 — totalmente adiabático. Numa supernova, na ressonância H a 20 MeV: com a frente de choque como a simulação a guarda, larga, γ ≈ 5 e quase não se pula; com a frente real, de centímetros, γ ≈ 0,01 e o salto é quase certo. Isso prepara a pergunta relativística: em relação a que parâmetro medimos dθm/dx, e qual energia entra em Δ? Aí entram tetradas, energia local e comprimento próprio. Como ler: γ é gap dividido pelo giro da base. Energia maior encolhe o gap, γ cai e o salto fica mais provável; Δm² ou mistura maiores aumentam o gap e protegem a adiabaticidade; densidade variando devagar dá γ grande; uma frente de choque, com escala quase zero, dá γ → 0 e o salto máximo.

Adiabaticidade · 4 · supernova M15-7b

A frente de choque atravessa a ressonância

I

Parte um

Espaço-tempo
curvo

Gravidade não é força: é geometria. Longe das estrelas, a diferença é uma correção minúscula. Perto de um objeto compacto, é tudo.

Einstein · 1915Schwarzschild · 1916objetos compactosondas gravitacionaiscolapsares

Eclipse de 29 de maio de 1919 · ESO / Landessternwarte Heidelberg · CC BY 4.0

25 de novembro de 1915

Einstein e suas equações de campo

Albert Einstein, 1921 — **Albert Einstein**1921

G_μν = 8πGc⁴ T_μνcurvatura = conteúdo de energia e momento

d²x^μdλ² + Γ^μ_αβ dx^αdλ dx^βdλ = 0geodésica

ds² = g_μν dx^μdx^νa métrica é o campo

“O espaço-tempo diz à matéria como se mover; a matéria diz ao espaço-tempo como se curvar.”
John A. Wheeler

Os testes clássicos

Sobral, 1919: a luz faz curva

efeito	RG prevê
periélio de Mercúrio (1915)	43″ / século
desvio da luz rasante ao Sol (1919)	1,75″
desvio para o vermelho, Pound–Rebka (1959)	2,5×10⁻¹⁵ em 22,5 m
atraso de Shapiro (1964)	~200 μs
relógios do GPS	+38 μs / dia

Expedição de Sobral (CE): 1,98 ± 0,12″. Príncipe: 1,61 ± 0,30″. O céu do Nordeste confirmou Einstein.

1859 – 1915 · o periélio de Mercúrio

Mercúrio não fecha a órbita

avanço do periélio	por século
observado (relativo às estrelas)	574″
outros planetas, por Newton	531″
sobra sem explicação	43″

Δφ = 6πGM_☉c² a(1 − e²) = 0,104″ por órbitaRG · Einstein, novembro de 1915 · 415 órbitas por século → 43,0″

Le Verrier encontrou a sobra em 1859 e propôs um planeta escondido, Vulcano. Nunca foi achado. Einstein obteve os 43″ sem nenhum parâmetro ajustável.

“Por alguns dias, fiquei fora de mim de excitação alegre.”
Einstein a Ehrenfest, janeiro de 1916

1959 · Pound & Rebka · torre Jefferson, Harvard

A luz perde energia ao subir

Raios γ de 14,4 keV do ⁵⁷Fe (efeito Mössbauer). Pound & Rebka, PRL 4, 337 (1960): ~10%; Pound & Snider, Phys. Rev. 140, B788 (1965): ~1%. A cada 12 s fonte e absorvedor trocam de lugar, como no experimento.

Pound e Rebka, 1959, na torre de 22,5 metros do laboratório Jefferson, em Harvard. A gravidade muda a frequência da luz em gh/c², 2,5 partes em 10¹⁵. Para medir isso usaram o efeito Mössbauer do ferro-57: uma linha de 14,4 keV tão estreita que dá para ver esse desvio. A luz que cai chega com energia um pouco maior e não é mais absorvida; para compensar, eles moviam o absorvedor para longe a 0,74 micrômetro por segundo — uns 2,7 milímetros por hora. No diagrama do meio, em cima está a linha do fóton que chega, deslocada pela gravidade para +0,74; embaixo, a linha que o absorvedor aceita, que desliza por Doppler conforme ele se move. Quando as duas se encaixam, a absorção é máxima — em v = gh/c = 0,74 μm/s. A cada 12 segundos fonte e absorvedor trocam de lugar e o encaixe passa para −0,74, exatamente como eles faziam para cancelar efeitos sistemáticos. À direita, a mesma lei numa estrela de nêutrons de 1,4 massa solar: sem exagero, 500 nanômetros saem verdes e chegam laranja, 618 nm. É o mesmo fator que os neutrinos sofrem ao sair da proto-estrela.

O espaço em fluxo · Hamilton & Lisle 2008

O espaço cai · estrela de nêutrons

Schwarzschild em Gullstrand–Painlevé · 1,4 M☉ · R = 12 kmarraste a rede para girar

Cada nó é um referencial local em queda livre, solto do repouso lá longe. Nas coordenadas de Gullstrand–Painlevé o espaço é plano e escoa para dentro com a velocidade de escape, v = √(2GM/r): a rede é carregada pelo fluxo. Perto da massa os nós correm mais — as linhas se curvam, as células esticam na radial e apertam nas laterais: a maré. Na superfície da estrela o fluxo já corre a 0,59 c.

O espaço em fluxo · Hamilton & Lisle 2008

O espaço cai · buraco negro

Schwarzschild em Gullstrand–Painlevé · 6 M☉ · horizonte em 17,7 kmarraste a rede para girar

A mesma rede, agora sem superfície para parar a queda. No horizonte o fluxo corre exatamente a c: um sinal de luz apontado para fora só consegue ficar parado ali, e por dentro dele é arrastado para dentro. Por isso nada sai. A linha tracejada é o ritmo de um relógio mantido parado — ele vai a zero no horizonte, onde ficar parado já é impossível.

Dezembro de 1915 · front russo

Schwarzschild e a primeira solução exata

ds² = −(1 − r_sr) c²dt² + dr²1 − r_s/r + r²dΩ²r_s = 2GM/c² · vale fora de qualquer corpo esférico sem rotação

1 r_s

horizonte de eventos

1,5 r_s

esfera de fótons

3 r_s

ISCO: última órbita estável

2,95 km

r_s do Sol (Terra: 8,9 mm)

Escreveu a Einstein em 22 de dezembro de 1915, servindo como artilheiro. Morreu em maio de 1916.

O que nos interessa da métrica

A curvatura faz duas coisas com um neutrino

1 · Muda a energia

Um neutrino emitido em r com energia local E chega ao infinito com

E_∞ = E √(1 − r_s/r)redshift gravitacional, r_s = 2GM/c²

O espectro inteiro desliza para baixo, e o relógio da fonte anda mais devagar visto de fora.

2 · Encurva o caminho

A trajetória é uma geodésica, não uma reta. Perto de um objeto compacto o desvio é grande, e caminhos diferentes podem ligar a mesma fonte ao mesmo detector.

Fótons e neutrinos seguem a mesma geometria, o que a SN 1987A confirmou a ~0,5%.

As duas importam porque, numa supernova, a emissão é fundo no poço e a detecção é longe dele.

E há uma terceira, mais sutil

A fase de oscilação é acumulada ao longo da geodésica, com o tempo próprio da partícula. Em espaço-tempo plano ela vira o familiar Δm²L/4E; em métrica curva, não.

Voltamos a isso em três laminas.

Nada disso é opcional quando a densidade que define a ressonância MSW é medida no referencial local e o detector está a 10 kpc.

Quanto, em números

O que chega não é o que saiu

onde	R	u = r_s/R	z
neutrinosfera, 1,4 M☉	30 km	0,138	0,077
neutrinosfera mais fria	50 km	0,083	0,044
estrela de nêutrons fria	12 km	0,345	0,235
disco de colapsar, 3 M☉	3 r_s	0,333	0,225

Na fase de acreção, o espectro que o DUNE vê saiu ~8% mais energético do que chega.

E o intervalo de tempo também: o que a estrela vive em 1 s, nós medimos em 1,08 s. A curva de luz de neutrinos é lida com o relógio errado se a métrica for ignorada.

Por que isso importa para a ressonância

A condição MSW envolve a energia local. Usar a energia detectada no lugar dela desloca a densidade de ressonância por ~8%, e portanto desloca o raio onde a conversão acontece.

u e z calculados com r_s = 2GM/c²; z = (1 − u)^−1/2 − 1.

Dashboard · geodésicas nulas de Schwarzschild

Luz e neutrinos perto de um buraco negro

interativo · RK4 no navegadoru″ + u = (3/2) r_s u², u = 1/r

parâmetro de impacto b

Todo raio que chega com b < 3√3 M cai. Logo acima disso, ele dá voltas em torno da esfera de fótons antes de escapar.

Um neutrino ultrarrelativístico segue, em primeira ordem, a mesma geodésica nula. A massa entra como correção ∝ m²/E² — e é exatamente essa correção que carrega a fase de oscilação.

Compacidade · 1/8